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寒竹墨軒新蟲 (著名寫手)
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[交流]
轉(zhuǎn)專業(yè)學生應該怎樣學偏微分方程��？ 已有7人參與
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轉(zhuǎn)專業(yè)的數(shù)學研究生，偏微分方程方向，本科數(shù)學物理方程教材還在自學中，這邊已經(jīng)在講臨界點理論了，廣義函數(shù)、Sobolev空間等知識更是拿來就用，真的壓力很大。更郁悶的是每次看教材發(fā)現(xiàn)相同的知識點很不統(tǒng)一，比如這學期的臨界點理論、二階橢圓型方程以及現(xiàn)代偏微分方程（用的Evans那本書）三門課的教材都提到了Sobolev空間，但發(fā)現(xiàn)有些定義它們是從不同角度給出的，甚至有些還會有沖突。更細微的地方，比如有些書是在Rn中的開集討論，有些是在Rn中的開區(qū)域里討論，感覺作者對這種細微的差別可以隨便忽略（開區(qū)域里成立的結(jié)論放在開集里就一定成立嗎？），還有的書開篇就“區(qū)域這個術語和符號U專門用來表示實N維歐氏空間中的開集”，前后矛盾，感覺對初學者很不友好。還有比如定義弱導數(shù)的時候為什么局部可積的函數(shù)與具有緊支集的無窮次可微函數(shù)的乘積就默認一定可積（可能有人會說這還不簡單嗎？在這里請大神輕噴，我已經(jīng)被各種突如其來的新知識整糊涂了），又比如說Evans書里面一個Definition: We denote by W0^k,p(U) the closure of Cc^∞(U) in W^k,p(U). 看得我一臉懵逼，好像這是多么顯然似的，然后又得琢磨半天為什么Cc^∞(U)會包含于W^k,p(U)（再次請大神輕噴，考慮一下轉(zhuǎn)專業(yè)學生一下子要跨越這么多東西來面對這些不熟悉的符號和概念）。諸如此類的細節(jié)的地方，甚至看到很多地方用格林公式時也想驗證一下直接從數(shù)分里三維的情況推廣到n維的情況是否可行……感覺很多這些細微之處作者是不會討論的，自己如果一點一點地摳感覺時間根本不夠，但不弄明白這些細微的地方又感覺不踏實，印象也不深刻。在這里想請教一下前輩們像我這種情況應該用什么樣的方式看書，如何在這中間把握一個度，或者是否有些地方要調(diào)整一下思路。不知自己是否表述清楚了，但仍望大家不吝賜教 發(fā)自小木蟲IOS客戶端 |
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| 可以找一本實變函數(shù)還有泛函分析學學，安利brezis的泛函分析，或者張恭慶的，都是比較針對方程的，實變函數(shù)的話可以看看周民強的，或者stein那本實分析前幾章，二階橢圓和evans的應該一般的lesbegue測度有關的夠用了，所以實變函數(shù)學了應該就可以了，向量值函數(shù)還需要的話可以看看夏道行先生寫的泛函分析第二教程里的第一章，如果時間多能啃書的話...可以直接泛函分析看yosida的，但是很難...至于區(qū)域還有開集什么的，建議學下點集拓撲，應該就都可以了 |
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寒竹墨軒3樓2019-05-19 21:42:18
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基本都是區(qū)域的結(jié)論，因為很多問題的處理，需要涉及區(qū)域縮小等，連通還是有必要的。比如數(shù)學物理方程中重要的Harnack不等式 發(fā)自小木蟲Android客戶端 |
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6樓2019-07-14 20:25:05
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基礎的sobolev空間的定義一般是開集上的。實際上就是一類具有特殊性質(zhì)的可積函數(shù)，這個特殊性質(zhì)就是弱導數(shù)的存在與可積。關于sobolev的其他性質(zhì)，則需要函數(shù)定義域不但是開集，還需連通，lipschitz，或者錐性質(zhì)，或者cn光滑等等。連通性可能會在一些比較基礎的地方用到，但一般不提及，比如中值定理。局部可積函數(shù)與具有緊支集無窮次連續(xù)可微函數(shù)的乘機顯然可積啊。格林公式對于無窮次連續(xù)可微函數(shù)容易推導，但對于sobolev空間中的函數(shù)是否成立，需要證明。利用光滑逼近證。從樓主的學習心得中，可以看出樓主很認真，細心。不要害怕時間不夠用，我覺得最好把自己的問題都一一搞清楚，該證明的，自己給出證明。該完善的，自己完善。不同的定義，不同的性質(zhì)之間的聯(lián)系，自己標出。打好基礎！才有利于以后發(fā)展！ 發(fā)自小木蟲Android客戶端 |
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7樓2019-07-15 15:15:52
寒竹墨軒
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2樓2019-03-10 21:08:49
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4樓2019-05-20 10:55:52
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很多PDE的書上定理開始都是“設omega是R^n中的區(qū)域”，但我看他們的意思好像都是說開集，因為定理證明里根本就沒有用到連通性，實際上定理是對開集成立的。如果不是我理解錯誤的話，諸如此類的含混之處還有很多。感到有些無所適從。 發(fā)自小木蟲IOS客戶端 |
5樓2019-06-02 19:51:51
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8樓2019-07-15 17:40:11
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9樓2019-07-15 17:40:32
10樓2019-10-22 21:20:44
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