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寒竹墨軒新蟲(chóng) (著名寫(xiě)手)
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轉(zhuǎn)專(zhuān)業(yè)學(xué)生應(yīng)該怎樣學(xué)偏微分方程啊？ 已有7人參與
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轉(zhuǎn)專(zhuān)業(yè)的數(shù)學(xué)研究生，偏微分方程方向，本科數(shù)學(xué)物理方程教材還在自學(xué)中，這邊已經(jīng)在講臨界點(diǎn)理論了，廣義函數(shù)、Sobolev空間等知識(shí)更是拿來(lái)就用，真的壓力很大。更郁悶的是每次看教材發(fā)現(xiàn)相同的知識(shí)點(diǎn)很不統(tǒng)一，比如這學(xué)期的臨界點(diǎn)理論、二階橢圓型方程以及現(xiàn)代偏微分方程（用的Evans那本書(shū)）三門(mén)課的教材都提到了Sobolev空間，但發(fā)現(xiàn)有些定義它們是從不同角度給出的，甚至有些還會(huì)有沖突。更細(xì)微的地方，比如有些書(shū)是在Rn中的開(kāi)集討論，有些是在Rn中的開(kāi)區(qū)域里討論，感覺(jué)作者對(duì)這種細(xì)微的差別可以隨便忽略（開(kāi)區(qū)域里成立的結(jié)論放在開(kāi)集里就一定成立嗎？），還有的書(shū)開(kāi)篇就“區(qū)域這個(gè)術(shù)語(yǔ)和符號(hào)U專(zhuān)門(mén)用來(lái)表示實(shí)N維歐氏空間中的開(kāi)集”，前后矛盾，感覺(jué)對(duì)初學(xué)者很不友好。還有比如定義弱導(dǎo)數(shù)的時(shí)候?yàn)槭裁淳植靠煞e的函數(shù)與具有緊支集的無(wú)窮次可微函數(shù)的乘積就默認(rèn)一定可積（可能有人會(huì)說(shuō)這還不簡(jiǎn)單嗎？在這里請(qǐng)大神輕噴，我已經(jīng)被各種突如其來(lái)的新知識(shí)整糊涂了），又比如說(shuō)Evans書(shū)里面一個(gè)Definition: We denote by W0^k,p(U) the closure of Cc^∞(U) in W^k,p(U). 看得我一臉懵逼，好像這是多么顯然似的，然后又得琢磨半天為什么Cc^∞(U)會(huì)包含于W^k,p(U)（再次請(qǐng)大神輕噴，考慮一下轉(zhuǎn)專(zhuān)業(yè)學(xué)生一下子要跨越這么多東西來(lái)面對(duì)這些不熟悉的符號(hào)和概念）。諸如此類(lèi)的細(xì)節(jié)的地方，甚至看到很多地方用格林公式時(shí)也想驗(yàn)證一下直接從數(shù)分里三維的情況推廣到n維的情況是否可行……感覺(jué)很多這些細(xì)微之處作者是不會(huì)討論的，自己如果一點(diǎn)一點(diǎn)地?fù)父杏X(jué)時(shí)間根本不夠，但不弄明白這些細(xì)微的地方又感覺(jué)不踏實(shí)，印象也不深刻。在這里想請(qǐng)教一下前輩們像我這種情況應(yīng)該用什么樣的方式看書(shū)，如何在這中間把握一個(gè)度，或者是否有些地方要調(diào)整一下思路。不知自己是否表述清楚了，但仍望大家不吝賜教 發(fā)自小木蟲(chóng)IOS客戶端 |
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| 可以找一本實(shí)變函數(shù)還有泛函分析學(xué)學(xué)，安利brezis的泛函分析，或者張恭慶的，都是比較針對(duì)方程的，實(shí)變函數(shù)的話可以看看周民強(qiáng)的，或者stein那本實(shí)分析前幾章，二階橢圓和evans的應(yīng)該一般的lesbegue測(cè)度有關(guān)的夠用了，所以實(shí)變函數(shù)學(xué)了應(yīng)該就可以了，向量值函數(shù)還需要的話可以看看夏道行先生寫(xiě)的泛函分析第二教程里的第一章，如果時(shí)間多能啃書(shū)的話...可以直接泛函分析看yosida的，但是很難...至于區(qū)域還有開(kāi)集什么的，建議學(xué)下點(diǎn)集拓?fù)�，�?yīng)該就都可以了 |
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寒竹墨軒3樓2019-05-19 21:42:18
終之太刀—曉
鐵桿木蟲(chóng) (著名寫(xiě)手)
數(shù)學(xué)愛(ài)好者
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基本都是區(qū)域的結(jié)論，因?yàn)楹芏鄦?wèn)題的處理，需要涉及區(qū)域縮小等，連通還是有必要的。比如數(shù)學(xué)物理方程中重要的Harnack不等式 發(fā)自小木蟲(chóng)Android客戶端 |
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6樓2019-07-14 20:25:05
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基礎(chǔ)的sobolev空間的定義一般是開(kāi)集上的。實(shí)際上就是一類(lèi)具有特殊性質(zhì)的可積函數(shù)，這個(gè)特殊性質(zhì)就是弱導(dǎo)數(shù)的存在與可積。關(guān)于sobolev的其他性質(zhì)，則需要函數(shù)定義域不但是開(kāi)集，還需連通，lipschitz，或者錐性質(zhì)，或者cn光滑等等。連通性可能會(huì)在一些比較基礎(chǔ)的地方用到，但一般不提及，比如中值定理。局部可積函數(shù)與具有緊支集無(wú)窮次連續(xù)可微函數(shù)的乘機(jī)顯然可積啊。格林公式對(duì)于無(wú)窮次連續(xù)可微函數(shù)容易推導(dǎo)，但對(duì)于sobolev空間中的函數(shù)是否成立，需要證明。利用光滑逼近證。從樓主的學(xué)習(xí)心得中，可以看出樓主很認(rèn)真，細(xì)心。不要害怕時(shí)間不夠用，我覺(jué)得最好把自己的問(wèn)題都一一搞清楚，該證明的，自己給出證明。該完善的，自己完善。不同的定義，不同的性質(zhì)之間的聯(lián)系，自己標(biāo)出。打好基礎(chǔ)！才有利于以后發(fā)展！ 發(fā)自小木蟲(chóng)Android客戶端 |
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7樓2019-07-15 15:15:52
寒竹墨軒
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那個(gè)確實(shí)是顯然的，之前看書(shū)看得腦子懵了。就是舉個(gè)例子，像這樣的例子還有很多，總之懂我的意思就好。 發(fā)自小木蟲(chóng)IOS客戶端 |
2樓2019-03-10 21:08:49
寒竹墨軒
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4樓2019-05-20 10:55:52
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很多PDE的書(shū)上定理開(kāi)始都是“設(shè)omega是R^n中的區(qū)域”，但我看他們的意思好像都是說(shuō)開(kāi)集，因?yàn)槎ɡ碜C明里根本就沒(méi)有用到連通性，實(shí)際上定理是對(duì)開(kāi)集成立的。如果不是我理解錯(cuò)誤的話，諸如此類(lèi)的含混之處還有很多。感到有些無(wú)所適從。 發(fā)自小木蟲(chóng)IOS客戶端 |
5樓2019-06-02 19:51:51
寒竹墨軒
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8樓2019-07-15 17:40:11
寒竹墨軒
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9樓2019-07-15 17:40:32
10樓2019-10-22 21:20:44
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