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fo3mt2金蟲(chóng) (小有名氣)
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復(fù)數(shù)矩陣的-1/2次方計(jì)算 已有1人參與
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大家好， 我想向大家請(qǐng)教一個(gè)問(wèn)題。 A是一個(gè)n乘n的復(fù)數(shù)矩陣，如何計(jì)算A的負(fù)二分之一次方（-1/2）呢？ 我看到網(wǎng)上有這樣的計(jì)算流程。 1.對(duì)角化復(fù)數(shù)矩陣A，得到矩陣A的特征值 2.計(jì)算每個(gè)特征值的-1/2次方 3.用特征值的-1/2次方組成對(duì)角矩陣（非對(duì)角線上的元素全是零，對(duì)角線上的元素是每個(gè)特征值的-1/2次方），這個(gè)對(duì)角矩陣就是復(fù)數(shù)矩陣A的負(fù)二分之一次方（-1/2） 請(qǐng)問(wèn)這種計(jì)算方法是否正確呢？ 如果不對(duì)，麻煩大家給些建議，要如何正確計(jì)算一個(gè)復(fù)數(shù)矩陣A的-1/2次方吧。 謝謝啦。 |
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【答案】應(yīng)助回帖
感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
| 這個(gè)方法思路是對(duì)的，結(jié)果不完全對(duì)。我猜測(cè)樓主是想計(jì)算一個(gè)矩陣B滿足 (B B) = A^-1。如果A可逆且可對(duì)角化，也就是 A = P^{-1} D P（特征分解），其中D為一對(duì)角矩陣，對(duì)角元為A的特征值且非零，則可以構(gòu)造B = P^{-1} d P，其中d的對(duì)角元是D的對(duì)角元的平方根的倒數(shù)。由于樓主的矩陣A是在復(fù)數(shù)域定義的，d的每個(gè)對(duì)角元都有一到兩個(gè)可取值，因此可以構(gòu)造出最多2^n個(gè)B。 |
2樓2022-08-15 09:29:40
fo3mt2
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3樓2022-08-15 17:07:48
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【答案】應(yīng)助回帖
| 具體要看你如何定義B=A^(-1/2)。就像正實(shí)數(shù)有正負(fù)兩個(gè)實(shí)數(shù)平方根一樣，滿足B^2 = A^(-1)的B矩陣可以多達(dá)2^n個(gè)。如果不在意特征值的取值，那用這個(gè)方法構(gòu)造出的任意一個(gè)都滿足B^2 = A^(-1)。如果對(duì)特征值有要求，比如假設(shè)A是半正定的（也就是特征值全部非負(fù)），你也可以要求B半正定，也就是d的對(duì)角元全部取D的算術(shù)平方根（非負(fù)平方根）；如果A是非正定的（也就是特征值有負(fù)數(shù)或復(fù)數(shù)），你也可以選擇d的對(duì)角元全部取D的復(fù)平方根主值。 |
4樓2022-08-16 15:01:58
flankway
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只能是半正定矩陣才可以開(kāi)平方。你這個(gè)問(wèn)題，我們分解一下，先開(kāi)平方，然后求逆。如果能開(kāi)平方，還能求逆，那么這個(gè)矩陣一定是正定矩陣。正定矩陣可以對(duì)角化，即可以存在酉矩陣，在有等價(jià)意義下變成一個(gè)對(duì)角矩陣，其中特征值都大于零，可以開(kāi)平方。然后你把那個(gè)酉矩陣帶上，就是原矩陣的平方根。平方根求完了，你再求它的逆矩陣。 總的來(lái)說(shuō)，正定矩陣就像是正數(shù)，半正定矩陣就是大于等于零的數(shù)，他們和數(shù)的性質(zhì)有點(diǎn)像。負(fù)數(shù)是不能開(kāi)平方的，同樣的，特征值有負(fù)的，也不能開(kāi)平法。 |
5樓2022-09-08 23:42:00
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