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fo3mt2金蟲 (小有名氣)
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復(fù)數(shù)矩陣的-1/2次方計(jì)算 已有1人參與
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大家好， 我想向大家請教一個(gè)問題。 A是一個(gè)n乘n的復(fù)數(shù)矩陣，如何計(jì)算A的負(fù)二分之一次方（-1/2）呢？ 我看到網(wǎng)上有這樣的計(jì)算流程。 1.對角化復(fù)數(shù)矩陣A，得到矩陣A的特征值 2.計(jì)算每個(gè)特征值的-1/2次方 3.用特征值的-1/2次方組成對角矩陣（非對角線上的元素全是零，對角線上的元素是每個(gè)特征值的-1/2次方），這個(gè)對角矩陣就是復(fù)數(shù)矩陣A的負(fù)二分之一次方（-1/2） 請問這種計(jì)算方法是否正確呢？ 如果不對，麻煩大家給些建議，要如何正確計(jì)算一個(gè)復(fù)數(shù)矩陣A的-1/2次方吧。 謝謝啦。 |
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【答案】應(yīng)助回帖
感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
| 這個(gè)方法思路是對的，結(jié)果不完全對。我猜測樓主是想計(jì)算一個(gè)矩陣B滿足 (B B) = A^-1。如果A可逆且可對角化，也就是 A = P^{-1} D P（特征分解），其中D為一對角矩陣，對角元為A的特征值且非零，則可以構(gòu)造B = P^{-1} d P，其中d的對角元是D的對角元的平方根的倒數(shù)。由于樓主的矩陣A是在復(fù)數(shù)域定義的，d的每個(gè)對角元都有一到兩個(gè)可取值，因此可以構(gòu)造出最多2^n個(gè)B。 |
2樓2022-08-15 09:29:40
fo3mt2
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3樓2022-08-15 17:07:48
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【答案】應(yīng)助回帖
| 具體要看你如何定義B=A^(-1/2)。就像正實(shí)數(shù)有正負(fù)兩個(gè)實(shí)數(shù)平方根一樣，滿足B^2 = A^(-1)的B矩陣可以多達(dá)2^n個(gè)。如果不在意特征值的取值，那用這個(gè)方法構(gòu)造出的任意一個(gè)都滿足B^2 = A^(-1)。如果對特征值有要求，比如假設(shè)A是半正定的（也就是特征值全部非負(fù)），你也可以要求B半正定，也就是d的對角元全部取D的算術(shù)平方根（非負(fù)平方根）；如果A是非正定的（也就是特征值有負(fù)數(shù)或復(fù)數(shù)），你也可以選擇d的對角元全部取D的復(fù)平方根主值。 |
4樓2022-08-16 15:01:58
flankway
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5樓2022-09-08 23:42:00
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