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cyf2277新蟲 (初入文壇)
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[交流]
隨機特征方法 RFM：AI for PDE 的技術路線上可能不⽌有 PINN
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求解 偏微分方程（partial differential equation, pde）是科學計算領域最重要的課題之一，也是計算機輔助工程（computer-aided engineering, cae）軟件的核心要素。為求解 pde，有限差分方法、有限元方法、譜方法等經典數(shù)值方法被提出并廣泛研究。但是，經典數(shù)值方法依賴于網格離散，在復雜幾何和高維問題等方面面臨困難。 在 ai for science 時代，ai 模型在很多任務上取得了巨大成功，使用這些模型來求解 pde 的想法也得到了許多學者的青睞。一個最為直接的思路是利用考慮物理約束的深度神經網絡來表示 pde 的解，并利用 pde 結構定義損失函數(shù)、優(yōu)化神經網絡。以此為基礎發(fā)展的最有代表性的方法是已經得到廣泛關注、被寄予厚望的物理信息神經網絡（physics-informed neural networks, pinn）。 然而，值得關注的是，神經網絡比較明顯的優(yōu)勢在處理高維問題上。pde 的大量實際應用場景所面臨的挑戰(zhàn)不在維數(shù)災難上，而在幾何復雜、多尺度等方面。此時，神經網絡的優(yōu)勢不容易發(fā)揮出來，反倒因為非線性優(yōu)化等方面的困難，面臨著求解效率低、誤差不可控、難以系統(tǒng)改進等挑戰(zhàn)。因此，如何融合經典數(shù)值方法與機器學習方法的優(yōu)勢，是一個亟待解決的問題。 在這個大背景下，陳景潤、池煦榮、鄂維南、楊周旺四位學者于 2022 年提出隨機特征方法（the random feature method, rfm）。rfm 在避免網格生成、容易處理復雜幾何區(qū)域（點這里）的同時，也在各種場景下都有媲美經典數(shù)值方法的精度和效率（點這里）。 相關文章以《bridging traditional and machine learning-based algorithms for solving pdes: the random feature method》[1]為題，發(fā)表在《journal of machine learning》期刊上。 【rfm notebook 案例】 本期 notebook 將以 helmholtz 方程的求解為例，介紹有限差分、pinn 以及 rfm 方法的基本原理和簡單實現(xiàn)，并對相應的表現(xiàn)進行比較和分析。我們不預設讀者有很強的科學計算或者機器學習的背景知識，只需具備基本的數(shù)學和編程知識。如果你想對 ai for pde 的了解更深刻一點，本期 notebook 會是不容錯過的佳作。 跟隨本期 notebook，使用免費的 cpu 機型，即刻點擊查看吧：rfm notebook 鏈接 |
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