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寒竹墨軒新蟲 (著名寫手)
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請教陳維桓《微分流形初步》上的一個問題 已有1人參與
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陳維桓《微分流形初步》第二版第二章第2節(jié)第62頁劃線的這個地方（圖1）沒看明白。按照定義，函數(shù)f,g在點x處光滑是指存在坐標(biāo)卡(V1,φ1)和(V2,φ2)，使得 f◦φ1^{-1} 在點 φ1(x) 光滑， g◦φ2^{-1} 在點 φ2(x) 光滑。但φ1(V1)和φ2(V2)相交可能為空集（圖2），又如何判斷 f+g, f·g 是否在點x光滑呢？ 圖1：https://huwentao.oss-cn-beijing. ... /20220205110813.png 圖2：https://huwentao.oss-cn-beijing. ... /20220205110923.jpg （手機端和網(wǎng)頁端都發(fā)不出圖片，只能放圖床鏈接了。。。） |
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2樓2022-02-05 11:15:45
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【答案】應(yīng)助回帖
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不是你這么考慮的. f 和 g 有各自的定義域, 都是 x 的開鄰域, 那么 f+g 與 fg 的定義域就是兩個定義域之交, 依然還是 x 的某個開鄰域, 肯定非空. 這樣問題就轉(zhuǎn)變成了定義在 x 的某個開鄰域上的函數(shù) (f+g 與 fg) 是否光滑的問題. 這個問題當(dāng)然是可以問的. 這里面只涉及一個坐標(biāo)卡. 你考慮的可能是光滑性是否依賴坐標(biāo)卡的選取的問題, 這是另一個問題, 而且回答是與坐標(biāo)卡的選取無關(guān). 所以考慮光滑性的時候只要有一個坐標(biāo)鄰域就可以了, 不需要考慮多個. |
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3樓2022-02-11 00:58:23
寒竹墨軒
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謝謝你的回答。我的意思是，盡管V1和V2相交非空，但φ1(V1)和φ2(V2)相交可能為空集。這個問題我后來問了老師，他給我看了陳省身《微分幾何講義》第二版第九頁下面的腳注（照片發(fā)不出來。。。），按照這段腳注，對任意容許的坐標(biāo)卡(U,φ_U), 當(dāng)U交V非空時，f?φ_U^{-1}都在φ_U(U∩V)上光滑，才能說f在V上光滑，因此在我問的問題中，即使φ1(V1)與φ2(V2)相交可能為空集，f?φ2^{-1}在φ2(V1∩V2)上仍是有定義的，且是光滑的，這樣一來(f+g)?φ2^{-1}在φ2(V1∩V2)上就是光滑的，因此f+g是光滑的。 發(fā)自小木蟲IOS客戶端 |
4樓2022-02-11 05:21:36
寒竹墨軒
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5樓2022-02-11 05:23:58
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【答案】應(yīng)助回帖
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脣隆脦脪脰鹵脩脭, 脛茫戮玫碌脙脠脣脦陋碌脛脭錄露簍(脢茅脡脧碌脛陸脜脳壟)脮忙碌脛脛脺陸芒戮枚脛茫碌脛脦脢脤芒脗冒? 脛脟賂枚陸脜脳壟碌脛鹵戮脰脢脰祿脢脟脦陋脕脣脣碌祿擄路陸鹵茫露酶脪脩, 虜壟虜?shù)撁娒嚸幟娒屆⒙得劼姑樹浢济嬅姑斆? 脪媒脫脙脛脟賂枚陸脜脳壟脰祿脢脟脩脷賂脟脕脣脛茫碌脛脦脢脤芒露酶脪脩. Ok, 祿脴碌陸脛茫碌脛脦脢脤芒鹵戮脡鉚. 脦脪戮玫碌脙脛茫脣脝潞玫脙祿脫脨脮忙脮媒脌鉚陸芒脭玫脙麓驢錄虜矛脪祿賂枚潞爐脢媒碌脛鹿芒祿盧脨脭. 脟擄脙忙脦脪脣碌脕脣, 脮芒脌茂脙忙脰祿脨貓脪陋脪祿賂枚脳酶鹵錨驢簍戮脥脨脨脕脣, 露酶脟脪脠脦脪芒脪祿賂枚戮脥脨脨, 錄脠脠祿脠莽麓脣, 脛脟脙麓戮脥擄脩脮芒賂枚脳酶鹵錨驢簍脠隆脦陋 f 脫毛 g 碌脛露簍脪氓脫貌脰廬陸祿錄麓驢脡. 脭脷脮芒脡脧脙忙驢錄脗脟鹿芒祿盧脨脭戮脥脨脨脕脣. 脮芒賂枚脢脗脟茅脩鹿賂霉戮脥虜?shù)撁愗埫捖壝︿洆锩侁戀T枚脳酶鹵錨驢簍. f 脫毛 g 賂梅脳脭碌脛露簍脪氓脫貌脭脷脮芒脌茂脰祿脢脟脫脙脌麓脠隆陸祿錄爐露酶脪脩, 鹵冒脦脼脣眉脫脙. 露酶脛茫碌脛脧毛路簍脢脟脧毛路脰驢陋驢錄脗脟 f 脫毛 g 脭脷賂梅脳脭碌脛露簍脪氓脫貌(脫魯脡盲碌陸脜路脢陸驢脮錄盲脰廬潞貿(mào)驢脡脛脺虜?shù)撁徝犼懙? 脡脧碌脛鹿芒祿盧脨脭, 脢脟擄脩脤玫錄鎂脫脙脭脷脕脣麓鉚脦貿(mào)碌脛路陸脧貌脡脧, 脣霉脪脭虜脜虜煤脡煤脕脣脛茫脛脟賂枚脣脝脢脟露酶路脟碌脛脪脡脦脢. 脮媒脠路碌脛脳枚路簍脫婁賂脙脢脟脪祿脡脧脌麓戮脥擄脩露簍脪氓脫貌脠隆陸祿錄爐, 露酶虜?shù)撁娒嚶访栿H陋驢錄脗脟. 脛茫脭脵脳脨脧賂脧毛脧毛? |
6樓2022-02-11 09:54:19
寒竹墨軒
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明白了。我之前腦子沒轉(zhuǎn)過彎來，覺得g光滑是指存在坐標(biāo)卡(V2,φ2)，使得g?φ2^{-1}光滑，但φ2不一定是φ1，所以判斷不了f+g, f·g是否光滑�，F(xiàn)在反應(yīng)過來了，設(shè)h是transition map，由于它是光滑的，因此g?φ1^{-1}=g?φ2^{-1}?h光滑。謝謝你  發(fā)自小木蟲IOS客戶端 |
7樓2022-02-11 10:56:30
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8樓2022-02-11 11:06:24
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