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clcfang

銀蟲(chóng) (小有名氣)

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[求助] 關(guān)于重積分的計(jì)算問(wèn)題已有2人參與

求指教，計(jì)算重積分或通過(guò)變量替換計(jì)算重積分，一定要畫(huà)圖，然后化為累次積分確定積分上下限嗎，當(dāng)圖不好畫(huà)（任意的方程都對(duì)應(yīng)曲線或曲面）或者四維以上畫(huà)不出時(shí)怎么辦？有沒(méi)有不用畫(huà)圖計(jì)算重積分或曲面積分的方法？謝謝！

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數(shù)學(xué)！數(shù)學(xué)！

1樓 2020-08-19 18:06:48

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zaq47942

鐵桿木蟲(chóng) (職業(yè)作家)

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【答案】應(yīng)助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
Edstrayer: 金幣+10, thank 2020-08-21 19:35:11
clcfang: 金幣+10, ★有幫助, 感謝你這么認(rèn)真回答，確實(shí)不用畫(huà)圖的呀？不過(guò)我問(wèn)的是兩個(gè)圓柱相交成十字，其公共部分體積。好像哪本書(shū)上有這個(gè)例題，我找不到了。 2020-08-21 22:30:53

引用回帖:

5樓: Originally posted by clcfang at 2020-08-20 09:47:19
感謝你的回答！仍有不懂。我舉個(gè)例子，比如兩個(gè)圓柱相交（從側(cè)面）求公共部分體積。（1）在兩圓柱底面半徑相等且正對(duì)著垂直相交（2）底面半徑不等或斜著相交時(shí)
你能教下不畫(huà)圖怎么計(jì)算嗎？...

$\left\{x,y,z\vert x^2+y^2\leq r^2,\;{(x-a)}^2+y^2\leq r^2,\;0<z<h\right\},\;a<2r$
$x=\rho\cos\theta,\;y=\rho\sin\theta$
$\left\{\begin{array}{l}0\leq\rho\leq r,\;\\\rho^2-2a\rho\cos\theta+a^2-r^2\leq0\end{array}\right.$
這里只寫(xiě)r<a<2r的情況， $4a^2\cos^2\theta-4(a^2-r^2)>0,\;-arc\sin\frac ra<\theta<arc\sin\frac ra$ ,
$\left\{\begin{array}{l}0\leq\rho\leq r,\;\\a\cos\theta-\sqrt{r^2-a^2\sin^2\theta}\leq\rho\leq a\cos\theta+\sqrt{r^2-a^2\sin^2\theta}\end{array}\right.$
r<a, 只需比較端點(diǎn)r和 $a\cos\theta+\sqrt{r^2-a^2\sin^2\theta}$ ，
若 $arc\cos\frac a{2r}<arc\sin\frac ar$ ,
$-arc\cos\frac a{2r}\leq\theta\leq arc\cos\frac a{2r}$ 時(shí)，
$a\cos\theta+\sqrt{r^2-a^2\sin^2\theta}\leq\rho\leq r$ .
$arc\cos\frac a{2r}\leq\theta\leq arc\sin\frac ar$ 或 $-arc\sin\frac ar\leq\theta\leq-arc\cos\frac a{2r}$ 時(shí)，
$a\cos\theta-\sqrt{r^2-a^2\sin^2\theta}\leq\rho\leq a\cos\theta+\sqrt{r^2-a^2\sin^2\theta}$ .
若 $arc\cos\frac a{2r}<arc\sin\frac ar$ ,
則 $-arc\sin\frac ar<\theta<arc\sin\frac ar$ 時(shí) $a\cos\theta+\sqrt{r^2-a^2\sin^2\theta}>r$ , 只有 $a\cos\theta-\sqrt{r^2-a^2\sin^2\theta}\leq\rho\leq r$ .

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9樓2020-08-21 16:49:00

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hylpy

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【答案】應(yīng)助回帖

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clcfang: 金幣+10, ★有幫助 2020-08-21 10:30:12

畫(huà)圖是為了增加直觀，也是為了尋找解題思路。但并不一定是必須的。當(dāng)圖不好畫(huà)時(shí)，就只能利用一些特殊的技巧。這些技巧沒(méi)有成式，只能因題而異。太技巧的題，難度也就大了，想到了簡(jiǎn)單，想不到就很難。

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clcfang

凡事，一笑而過(guò)。。。。。。

2樓2020-08-19 21:06:12

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不需畫(huà)圖，就可以通過(guò)不等式計(jì)算出積分的上下界

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clcfang

3樓2020-08-19 21:10:39

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引用回帖:

2樓: Originally posted by hylpy at 2020-08-19 21:06:12
畫(huà)圖是為了增加直觀，也是為了尋找解題思路。但并不一定是必須的。當(dāng)圖不好畫(huà)時(shí)，就只能利用一些特殊的技巧。這些技巧沒(méi)有成式，只能因題而異。太技巧的題，難度也就大了，想到了簡(jiǎn)單，想不到就很難。

不畫(huà)圖，化為累次積分時(shí)該怎么確定上下限呢

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數(shù)學(xué)！數(shù)學(xué)！

4樓2020-08-20 09:35:13

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