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竹林七賢1新蟲 (初入文壇)
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從數(shù)學(xué)史角度看丁小平的微積分研究 已有3人參與
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中國(guó)科學(xué)院大學(xué)科學(xué)技術(shù)史博士研究生 周芃君 從丁小平先生在第四屆世界數(shù)學(xué)科學(xué)大會(huì)發(fā)表《淺談現(xiàn)行微積分原理的錯(cuò)誤》和《新微積分原理簡(jiǎn)介》算起，至今已有九年。這九年中，丁小平先生一直通過(guò)發(fā)表論文和講學(xué)等方式揭示現(xiàn)行微積分原理的錯(cuò)誤，同時(shí)，講授他的新微積分原理，到目前為止，不了解他的學(xué)術(shù)結(jié)論的數(shù)學(xué)家已經(jīng)寥寥無(wú)幾，但公開支持他學(xué)術(shù)結(jié)論的不多，試圖駁倒他的一個(gè)都沒(méi)有成功，而私下支持他學(xué)術(shù)結(jié)論的卻比比皆是。筆者試從科學(xué)史角度談?wù)勛约簩?duì)丁小平研究工作的淺見。 微積分的歷程 牛頓和萊布尼茲，分別在1665年和1673年獨(dú)自創(chuàng)建微積分方法體系并建立各自的微積分原理，其結(jié)果是：微積分方法放之四海而皆準(zhǔn)，但微積分原理始終不能自圓其說(shuō)。在牛頓的微積分原理中，由于構(gòu)造流數(shù)(即導(dǎo)數(shù))的需要，牛頓人為地引入小量，可是，當(dāng)流數(shù)構(gòu)造出之后，牛頓又覺(jué)得流數(shù)后的小量或的組合項(xiàng)是個(gè)麻煩，于是，牛頓又人為地將它舍棄。邏輯學(xué)告知世人，如果一個(gè)量無(wú)論多小都得引入，那它就不可以忽視;如果一個(gè)量小得可以忽視，那它就不必引入。據(jù)此，基督教北愛爾蘭大主教貝克萊嘲笑牛頓的“”是幽靈。在萊布尼茲的微積分原理中，萊布尼茲定義兩個(gè)要多近就可以多近的變量的差為微分，微分的逐點(diǎn)累加就是積分(將積分區(qū)分為不定積分與定積分是多余的)，積分的微化就是微分，導(dǎo)數(shù)就是因變量與自變量的微分之比。萊布尼茲微積分原理的不足在于說(shuō)不清“要多近就可以多近”究竟是多近。 1821年至1823年，法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西分別出版了他的《分析教程》和《無(wú)限小計(jì)算教程概論》，以此為標(biāo)志，人類建立起第一個(gè)微積分原理。后來(lái)，又經(jīng)過(guò)黎曼、維爾斯特拉斯和達(dá)布等數(shù)學(xué)家的完善，我們現(xiàn)行的微積分原理宣布大功告成�？挛飨档奈⒎e分原理本質(zhì)上就是用極限論處理掉項(xiàng)的牛頓系的微積分原理，但在解釋不了豐富多彩的微積分方法為什么行之有效時(shí)又只好把萊布尼茲的微分拼湊進(jìn)去。 可是，1875年數(shù)學(xué)家托梅對(duì)現(xiàn)行微積分原理提出挑戰(zhàn)。繼托梅的直尺函數(shù)之后，原點(diǎn)左右無(wú)限震蕩函數(shù)和越接近原點(diǎn)越無(wú)限次震蕩衰減函數(shù)等相繼登場(chǎng)，從此，微積分原理再次進(jìn)入危機(jī)之中。如果我們稱貝克萊對(duì)牛頓的質(zhì)疑為微積分原理的第一次危機(jī)的話，那么，這次危機(jī)稱之為微積分原理的第二次危機(jī)。微積分原理第二次危機(jī)的化解是法國(guó)數(shù)學(xué)家勒貝格在1902年通過(guò)他的《積分，長(zhǎng)度和面積》一文完成的，文中有兩個(gè)核心思想，即后人所說(shuō)的“勒貝格測(cè)度”和“勒貝格積分”。 如上就是現(xiàn)今的微積分歷程。 微積分歷程所引發(fā)的思考 微積分方法的行之有效早已為實(shí)踐所證明，無(wú)需再做理論上的證明，可是誠(chéng)如馬克思指出：“這種算法通過(guò)肯定不正確的數(shù)學(xué)途徑得出了正確的結(jié)果。”那么，為什么不正確的途徑可以得出正確的結(jié)論呢?為什么微積分方法行之有效呢?以及如何優(yōu)化已有微積分方法和怎樣再揭示更多的微積分方法?這些問(wèn)題就是微積分原理所要完成的任務(wù)。 不管從1665年算起，還是從1673年算起，也不管牛頓和萊布尼茲的微積分原理是否無(wú)法自圓其說(shuō)，在牛頓和萊布尼茲之后微積分方法得到迅猛發(fā)展確是鐵的事實(shí)，截止1821年，微積分方法發(fā)展得幾乎與現(xiàn)今毫無(wú)二致。在微積分方法的發(fā)展中，做出主要貢獻(xiàn)的是伯努利兄弟、歐拉、拉格朗日、拉普拉斯、勒讓德、傅里葉和高斯，其中貢獻(xiàn)最大的是歐拉。從師承脈絡(luò)上看，伯努利兄弟是萊布尼茲的朋友和學(xué)生，而歐拉又是伯努利兄弟的學(xué)生。相反，繼泰勒建立泰勒公式以后，“英國(guó)數(shù)學(xué)陷入長(zhǎng)期的停滯狀態(tài)……他們不能擺脫牛頓微積分學(xué)說(shuō)中弱點(diǎn)的束縛。”通過(guò)這些歷史事實(shí)不知是否可以得出這樣的結(jié)論：微積分方法的迅猛發(fā)展主要得益于萊布尼茲的思想，與柯西用極限論建立的牛頓思路的微積分原理關(guān)系甚遠(yuǎn)。1821年以后，已有的微積分方法基本上沒(méi)有得到優(yōu)化，新的微積分方法也沒(méi)有再得到揭示;另一方面，微積分方法并沒(méi)有揭示窮盡，比如，到現(xiàn)在人類也解不了大多數(shù)的微分方程。據(jù)此，人們似乎可以懷疑現(xiàn)行微積分原理的存在價(jià)值。 極限思想的首倡者是英國(guó)數(shù)學(xué)家J.沃利斯。極限方法的意義在于可以處理掉導(dǎo)數(shù)后多余小量或的組合項(xiàng)，也可以定義定積分。一句話，可以規(guī)避過(guò)程直面結(jié)果。也正因?yàn)槿绱�，極限論下的積分無(wú)法逐點(diǎn)累加，也無(wú)法給出導(dǎo)數(shù)的瞬時(shí)比形式。這就應(yīng)該是為什么現(xiàn)行微積分原理對(duì)以托梅為代表的數(shù)學(xué)家提出的挑戰(zhàn)沒(méi)有辦法的原因。勒貝格似乎解決了這個(gè)問(wèn)題，但細(xì)細(xì)想來(lái)，勒貝格積分不過(guò)是實(shí)現(xiàn)了積分中的角色對(duì)調(diào)，僅僅是規(guī)避了問(wèn)題，相反，勒貝格測(cè)度論也存在邏輯上的問(wèn)題。 勒貝格測(cè)度中存在的邏輯問(wèn)題可以從兩個(gè)方面加以說(shuō)明：第一，無(wú)理數(shù)是測(cè)度的數(shù)學(xué)承擔(dān)者與超越數(shù)是測(cè)度的數(shù)學(xué)承擔(dān)者的說(shuō)法是相互矛盾的，即使退到貝爾的第一類集合這種解釋也不能自圓其說(shuō)，因?yàn)槌綌?shù)在解析幾何意義上與其它數(shù)一樣，其它數(shù)沒(méi)有測(cè)度，超越數(shù)也同樣沒(méi)有測(cè)度。第二，勒貝格測(cè)度是用排除法建立的，它的思路是：區(qū)間有測(cè)度，代數(shù)數(shù)的測(cè)度為0，所以，超越數(shù)是測(cè)度的數(shù)學(xué)承擔(dān)者。這種排除法使用的錯(cuò)誤在于忘記現(xiàn)行數(shù)-形模型中兩個(gè)數(shù)(點(diǎn))之間是有空隙的，未排除空隙。 丁小平所做工作可能具有的意義 首先，丁小平先生指出現(xiàn)行微積分原理中微分概念引入的錯(cuò)誤，以及由此引發(fā)微積分原理的系統(tǒng)性錯(cuò)誤，并以重新定義微分的方式反襯這一錯(cuò)誤。不知是否可以這樣認(rèn)為，丁小平指出的現(xiàn)行微積分原理中微分的錯(cuò)誤恰好是微積分發(fā)展史中極限思想與微分思想相抵觸的產(chǎn)物。極限論自然有它自己的數(shù)學(xué)意義，但是，用極限論建立微積分原理并不見得可取。 其次，丁小平先生指出現(xiàn)行微積分原理整體結(jié)構(gòu)的扭曲，并重新設(shè)定結(jié)構(gòu)，這種結(jié)構(gòu)與萊布尼茲的思想是一致的。 又次，丁小平先生建立的新數(shù)-形模型，糾正了傳統(tǒng)模型的惡無(wú)限缺陷，實(shí)現(xiàn)了數(shù)模型與形模型的統(tǒng)一，為蓄積多年的數(shù)學(xué)革命的發(fā)生提供了條件。這其中，有兩個(gè)重要方面：第一，建立了Werden(發(fā)生)概念，糾正了傳統(tǒng)數(shù)模型的一會(huì)兒是動(dòng)態(tài)的一會(huì)兒是靜態(tài)的自相矛盾性，形成了靜中有動(dòng)新模型，使得數(shù)學(xué)得以實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)描述;第二，指出代數(shù)數(shù)和超越數(shù)都承擔(dān)不了測(cè)度，測(cè)度只能由Werden承擔(dān)。 再次，丁小平先生的新微積分原理用事實(shí)證明萊布尼茲思路的微積分原理是完全可行的，可以認(rèn)為這使數(shù)學(xué)史上爭(zhēng)議了246年的問(wèn)題終于畫上了句號(hào)。 最后，丁小平的新微積分原理實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)上的逐點(diǎn)描述，比如微分的數(shù)學(xué)承擔(dān)者、導(dǎo)數(shù)的瞬時(shí)比形式、積分逐點(diǎn)累加等等，其中微分的數(shù)學(xué)承擔(dān)者問(wèn)題不僅解決了數(shù)學(xué)自身的問(wèn)題，也使得諸如虛位移原理等自然科學(xué)的核心問(wèn)題得以解決。 新微積分原理的建立，必將引發(fā)微分幾何、微分方程和泛函分析等學(xué)科的迅猛發(fā)展，從而引發(fā)科學(xué)技術(shù)的全面進(jìn)步。 丁小平所解決的是自牛頓以來(lái)數(shù)學(xué)界歷時(shí)354年尚未解決的問(wèn)題。如這項(xiàng)研究成果成立，無(wú)疑將是人類科學(xué)界的重大原始創(chuàng)新。這不僅可為我國(guó)科技發(fā)展提供基礎(chǔ)指導(dǎo)，也必將給中華民族帶來(lái)殊榮! |
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