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寒竹墨軒新蟲 (著名寫手)
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請教陳維桓《微分流形初步》上的一個(gè)問題 已有1人參與
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陳維桓《微分流形初步》第二版第二章第2節(jié)第62頁劃線的這個(gè)地方（圖1）沒看明白。按照定義，函數(shù)f,g在點(diǎn)x處光滑是指存在坐標(biāo)卡(V1,φ1)和(V2,φ2)，使得 f◦φ1^{-1} 在點(diǎn) φ1(x) 光滑， g◦φ2^{-1} 在點(diǎn) φ2(x) 光滑。但φ1(V1)和φ2(V2)相交可能為空集（圖2），又如何判斷 f+g, f·g 是否在點(diǎn)x光滑呢？ 圖1：https://huwentao.oss-cn-beijing. ... /20220205110813.png 圖2：https://huwentao.oss-cn-beijing. ... /20220205110923.jpg （手機(jī)端和網(wǎng)頁端都發(fā)不出圖片，只能放圖床鏈接了。。。） |
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寒竹墨軒
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明白了。我之前腦子沒轉(zhuǎn)過彎來，覺得g光滑是指存在坐標(biāo)卡(V2,φ2)，使得g?φ2^{-1}光滑，但φ2不一定是φ1，所以判斷不了f+g, f·g是否光滑。現(xiàn)在反應(yīng)過來了，設(shè)h是transition map，由于它是光滑的，因此g?φ1^{-1}=g?φ2^{-1}?h光滑。謝謝你  發(fā)自小木蟲IOS客戶端 |
7樓2022-02-11 10:56:30
寒竹墨軒
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2樓2022-02-05 11:15:45
weft
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【答案】應(yīng)助回帖
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不是你這么考慮的. f 和 g 有各自的定義域, 都是 x 的開鄰域, 那么 f+g 與 fg 的定義域就是兩個(gè)定義域之交, 依然還是 x 的某個(gè)開鄰域, 肯定非空. 這樣問題就轉(zhuǎn)變成了定義在 x 的某個(gè)開鄰域上的函數(shù) (f+g 與 fg) 是否光滑的問題. 這個(gè)問題當(dāng)然是可以問的. 這里面只涉及一個(gè)坐標(biāo)卡. 你考慮的可能是光滑性是否依賴坐標(biāo)卡的選取的問題, 這是另一個(gè)問題, 而且回答是與坐標(biāo)卡的選取無關(guān). 所以考慮光滑性的時(shí)候只要有一個(gè)坐標(biāo)鄰域就可以了, 不需要考慮多個(gè). |
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3樓2022-02-11 00:58:23
寒竹墨軒
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送紅花一朵 |
謝謝你的回答。我的意思是，盡管V1和V2相交非空，但φ1(V1)和φ2(V2)相交可能為空集。這個(gè)問題我后來問了老師，他給我看了陳省身《微分幾何講義》第二版第九頁下面的腳注（照片發(fā)不出來。。。），按照這段腳注，對任意容許的坐標(biāo)卡(U,φ_U), 當(dāng)U交V非空時(shí)，f?φ_U^{-1}都在φ_U(U∩V)上光滑，才能說f在V上光滑，因此在我問的問題中，即使φ1(V1)與φ2(V2)相交可能為空集，f?φ2^{-1}在φ2(V1∩V2)上仍是有定義的，且是光滑的，這樣一來(f+g)?φ2^{-1}在φ2(V1∩V2)上就是光滑的，因此f+g是光滑的。 發(fā)自小木蟲IOS客戶端 |
4樓2022-02-11 05:21:36
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