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強(qiáng)非線性系統(tǒng)的半解析方法 已有1人參與
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開一個(gè)帖，后期長期更新，蟲友們互相交流 ------------------------------------------------------------------------------------------------------ 【時(shí)域最小殘值法簡介及程序介紹(the introduction of the time-domain minimum residual method)】 https://www.bilibili.com/video/B ... 89094dff4c31b595e0b https://youtu.be/KgepFkp8o70 ------------------------------------------------------------------------------------------------------ 非線性振動(dòng)分析求解技術(shù)是近幾十年快速發(fā)展起來的。一方面，因?yàn)榉蔷�性動(dòng)力學(xué)理論的不斷發(fā)展，復(fù)雜非線性現(xiàn)象的產(chǎn)生機(jī)理得以不斷闡明澄清；另一方面，得益于計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，使得大規(guī)模數(shù)值求解和模擬工作可以進(jìn)行。非線性振動(dòng)分析方法主要可以分為定性方法和定量方法。定性方法主要是分析非線性系統(tǒng)諸如分岔、系統(tǒng)穩(wěn)定性、倍周期分岔等性質(zhì)的。定量方法則是對(duì)非線性系統(tǒng)時(shí)程響應(yīng)、周期解和準(zhǔn)周期解的計(jì)算方法，包括數(shù)值法、解析法和半解析法。對(duì)于數(shù)值法來說，其可以直接積分獲得系統(tǒng)的穩(wěn)定解，但是無法求解非線性系統(tǒng)的不穩(wěn)定解。對(duì)于解析或半解析方法，其求解非線性系統(tǒng)的難度要大很多，并且很難同時(shí)保證求解的精度和效率。為此，發(fā)展新的可快速求解非線性系統(tǒng)的解析方法仍舊是一項(xiàng)很有意義的工作。 在過去幾十年中，人們對(duì)各種非線性現(xiàn)象進(jìn)行了大量的研究。不同于線性系統(tǒng)可以輕易的獲得解析解，對(duì)于非線性系統(tǒng)來說，只有很少的一部分特殊的非線性系統(tǒng)(如可積系統(tǒng))可以求得其解析解。對(duì)于更多的非線性系統(tǒng)，學(xué)者們僅僅只能找到其近似解析解或者是無窮級(jí)數(shù)解。攝動(dòng)理論是第一種可以得到非線性系統(tǒng)近似解析解的理論，但攝動(dòng)法依賴于小參數(shù)假設(shè)，且不適用于強(qiáng)非線性系統(tǒng)。為了克服攝動(dòng)法的缺點(diǎn)，一些新的方法如增量諧波平衡法、同倫分析法等方法陸續(xù)被提出來。 1981年，cheung和lau首次提出了增量諧波平衡法(ihb)。ihb法的本質(zhì)是將增量法和諧波平衡法相結(jié)合的半解析半數(shù)值的方法。其主要步驟為：將非線性系統(tǒng)的周期解展開為傅立葉級(jí)數(shù)，并截?cái)嗲?n$項(xiàng)作為系統(tǒng)的近似解，然后通過迭代的方式來求得諧波系數(shù)和系統(tǒng)圓頻率。如何確定合適的$n$是ihb法中的難點(diǎn)，保留更多的諧波項(xiàng)意味著不平衡力$r$更容易趨于0，即迭代更容易收斂。但是保留更多的諧波項(xiàng)意味著每次迭代需要求解更多的方程，即每次迭代的計(jì)算量更大，花費(fèi)的時(shí)間更長。相反如果選取的$n$太小，則迭代有可能無法收斂。雖然ihb法仍舊有部分缺點(diǎn)，但是借助ihb法，眾多學(xué)者解決了非常多的非線性問題。cheung和lau最初通過ihb法求解了部分周期和準(zhǔn)周期的振動(dòng)系統(tǒng)，后來我國學(xué)者陳樹輝將ihb法應(yīng)用到含二次和三次非線性的系統(tǒng)，分析了非線性系統(tǒng)中常見的超諧波振動(dòng)和次諧波振動(dòng)問題。此外，黃建亮等人則是通過ihb法，系統(tǒng)的研究了非線性旋轉(zhuǎn)梁中的內(nèi)共振、準(zhǔn)周期振動(dòng)等問題。 同倫分析法(ham)是廖世俊最初于1989年提出的一種半解析方法。其將非線性系統(tǒng)的解表示為基函數(shù)和一組未知系數(shù)組成的級(jí)數(shù)，通過引入輔助參數(shù)$\hbar$、嵌入?yún)?shù)和線性輔助算子來求解非線性系統(tǒng)。同倫分析法拋棄了攝動(dòng)法中的小參數(shù)假設(shè)，可以適用于強(qiáng)非線性系統(tǒng)。并且通過輔助參數(shù)$\hbar$還能夠調(diào)節(jié)級(jí)數(shù)的收斂域和收斂速率。廖世俊等人通過ham陸續(xù)求解了流體力學(xué)中的blasius邊界層流動(dòng)問題，von kármán黏性流動(dòng)問題以及部分非牛頓流體問題。此外，陳衍茂等人通過ham成功求解了含立方非線性的氣動(dòng)彈性系統(tǒng)，tajaddodianfar等人借助ham分析了mems/nems諧振器中的非線性問題，morales等人進(jìn)一步改進(jìn)了ham并提出了拉普拉斯ham，結(jié)合分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)求解了一類線性偏微分方程。ham的出現(xiàn)，解決了一批之前不能解決的非線性問題。但即便如此，同倫分析法仍舊存在以下的局限性。首先，同倫分析方法需要選擇初始猜測(cè)解$\bm{x_0}$、線性輔助算子$\mathcal{l}$、輔助函數(shù)$\mathcal{h}(\bm{x})$以及輔助參數(shù)$\hbar$，這些參數(shù)和算子的選擇帶有很大的主觀性，并且很多時(shí)候這些元素的選擇并不是唯一的。例如，一個(gè)好的線性輔助算子，可以提高解的精度，好的初始猜測(cè)解則可以極大的加快收斂速度。雖然不同的輔助算子、輔助函數(shù)和輔助參數(shù)也許都能夠求解某些系統(tǒng)，但是選取不同的算子或參數(shù)，對(duì)應(yīng)的計(jì)算難度是不同的。并且這些元素在選取上也有很大的技巧性，非常依賴于對(duì)所研究系統(tǒng)的先驗(yàn)知識(shí)。而對(duì)于一些沒有任何先驗(yàn)知識(shí)的系統(tǒng)，由于不知如何選取這些輔助元素，同倫分析法就無法求解。此外，在ham法求解非線性系統(tǒng)的過程中，還需要推導(dǎo)零階形變方程和高階形變方程等等步驟，這些步驟除了較為繁瑣之外，即便是借助mathematica和maple等數(shù)學(xué)軟件，推導(dǎo)難度也頗高。 上述方法都存在各自的缺陷，制約著非線性系統(tǒng)應(yīng)用的發(fā)展。針對(duì)非線性系統(tǒng)的半解析解求解問題，中山大學(xué)劉廣在其博士論文提出了一種新的半解析方法-時(shí)域最小殘值法(the time-domain minimum residual method)。該方法可同時(shí)適用于弱非線性和強(qiáng)非線性系統(tǒng)，且理論上可以獲得任意精度的半解析解。 |
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